本篇笔记首先讨论了矩阵的初等变换，包括初等行变换和初等列变换两类，每一类初等变换又有三种变换规则，需要注意该初等变换与行列式对应的性质没有任何关系；然后讨论了初等变换和标准形的关系，任意矩阵都可以通过（行和列）初等变换化为标准形；最后还讨论了矩阵等价的定义及其性质，其实矩阵等价是矩阵之间的一种关系，可以探究矩阵内在的一些属性。

1 初等变换规则

初等变换有两类：初等行变换和初等列变换。

初等行变换有三种：

① 交换矩阵的某两行；
$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\\ 4& 4& 4& 4\end{array}\right]\stackrel{交换第一行和第二行}{\to }\left[\begin{array}{cccc}2& 2& 2& 2\\ 1& 1& 1& 1\\ 4& 4& 4& 4\end{array}\right]$

② 用$k(k\ne 0)$乘以某一行；
$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\\ 4& 4& 4& 4\end{array}\right]\stackrel{用6\times 第一行}{\to }\left[\begin{array}{cccc}6& 6& 6& 6\\ 2& 2& 2& 2\\ 4& 4& 4& 4\end{array}\right]$

③ 某一行的$l$倍加到另一行。
$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\\ 4& 4& 4& 4\end{array}\right]\stackrel{用第一行的(-4)倍加到第三行}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

同理，初等列变换也有三种，分别对应上述三种，即：
① 交换矩阵的某两列；
② 用$k(k\ne 0)$乘以某一列；
③ 某一列的$l$倍加到另一列。

注意：
(1) 初等变换矩阵与矩阵之间使用箭头（$\to$）连接，不能使用等号（$=$）；
(2) 初等变换的本质是对矩阵的变化；
(3) 矩阵的三种初等变换与行列式对应的三条性质没有任何关系。行列式求值时对应的三条性质见线性代数学习笔记（三）——行列式的性质，性质2、性质4和性质7；
(4) 行列式一定是方的，而做初等变换的矩阵不一定是方的。

但是，如果$A$是方阵，那么：
$A\stackrel{交换矩阵的某两行}{\to }B$，则$|A|=-|B|$；
$A\stackrel{用k(k\ne 0)乘以某一行}{\to }B$，则$k|A|=|B|$；
$A\stackrel{某一行的l倍加到另一行}{\to }B$，则$|A|=|B|$。
同理，列也是如此。

2 初等变换与标准形

定理1：任意矩阵都可以通过（行和列）初等变换化为标准形。

举例：将矩阵$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -1& -1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 3& 2\end{array}\right]$化为标准形。
思路：先处理第一列，如果矩阵的第一个元素不是$1$，看是否可以通过交换行或列将其变为$1$，然后通过初等变换的规则依次处理行和列。
解：
$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -1& -1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 3& 2\end{array}\right]\underset{将第一行\times (-1)加到第四行}{\overset{将第一行\times 1加到第二行}{\to }}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$

$\underset{将第二行\times (-1)加到第三行和第四行}{\overset{将第二行\times (-2)加到第一行}{\to }}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

$\underset{将第二列\times (-1)加到第三列}{\overset{将第一列\times 1加到第三列}{\to }}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

3 矩阵的等价

一个矩阵$A$通过一系列的初等变换得到矩阵$B$，则称矩阵$A$和矩阵$B$等价。
记作：$A\cong B$

性质1：反身性：$A\cong A$；

性质2：对称性：$A\cong B\Rightarrow B\cong A$；

性质3：传递性：$A\cong BB\cong C\Rightarrow A\cong C$。

结论：任何矩阵$A$都等价于标准形，即：$A\cong 标准形$，因为任何矩阵都可以化为标准形。

举例：四阶的方阵有以下五标准形：
$\left[\begin{array}{cccc}0& & & \\ & 0& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 0& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1\end{array}\right]$

任何四阶的方阵都可以经过初等变换化为上述五种标准形之一。后续章节将会讨论秩的概念，其实上述五个标准形对应秩分别为$0$、$1$、$2$、$3$、$4$、$5$。这些分类其实也表示了矩阵行之间的关系，比如以下矩阵：

$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\\ 3& 3& 3& 3\\ 4& 4& 4& 4\end{array}\right]\underset{再用第一列\times (-1)加到第二、第三和第四列}{\overset{将第一行分别\times (-2)、(-3)和(-4)加到第二、第三和第四行}{\to }}\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 0& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right]$

可以发现，经过初等变换后化为上述第二种标准形。所以看起来比较复杂的矩阵，但其实不是所有的行都那么必要，可以用简单的标准形就可以表示出来。

再比如以下矩阵:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 4& 5& 7& 9\\ -& -& -& -\\ -& -& -& -\end{array}\right]$

很明显该矩阵行之间的关系就比上一个矩阵要复杂，也就不能只用一行来表示。

所以，通过这种分类，可以探究矩阵内在的一些属性。

4 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.6 初等变换（一）