一、傅里叶变换的局限性

      对于非平稳信号，傅里叶变换不能很好反映出其频率随时间的变化。因为我们在应用傅里叶变换时，计算出的每个频率分量都是对应于整个时间轴（或有信号的时间范围），这就使得原始信号的时间信息丢失了，不能分析出频率随时间的变化，也不能定位出某一时刻发生的突变。

      下图的三个信号在时域上有很大不同，第一张是不同频率信号相加混合在一起，后两张包含与第一张相同的频率成分，不过分时出现。但从傅里叶频谱上看，三者差别并不大，尤其是后两个非平稳信号，我们无法从频谱上区分它们。

      这种局限性也表现在突变信号上，因为突变信号本身也是非平稳信号。比如单位阶跃信号u(t)，就是如此简单的信号，做傅里叶变换时也不得不使用取极限等复杂操作。因为u(t)在时域上只在一个时间点上变化了一下，你傅里叶变换非要从整个时间轴考虑问题，你不复杂谁复杂？

二、短时傅里叶变换（STFT）

      为了弥补FT的不足，把整个时间域分解成无数个等长的小过程（加窗），每个过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率。

      但此时仍然有问题，那就是窗的宽度。窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低；宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高（如下图）。所以，对于时变非稳态信号，高频部分适合用小窗，低频部分适合用大窗。然而，在一次STFT中，窗口的宽度是固定。所以STFT也有其局限性，这就引出了我们的小波变换。

三、小波变换（Wavelet Transform）

1、小波变换的基

      小波变换干脆直接把傅里叶变换的基给换了，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基，它的能量有限，都集中在某一点附近，而且积分的值为零。傅里叶变换，变量只有w，而小波变换则有尺度a和平移量b，尺度对应于频率，平移量对应于时间，所以小波变换可以用于时频分析，得到信号的时频谱。下面是小波函数的一般形式。

2、小波变换的步骤

（1）把小波w(t)和原函数f(t)的开始部分进行比较（实际上就是作內积），计算系数C。系数C表示该部分函数与小波的相似程度。
（2）把小波向右移k单位，得到小波w(t-k)，重复1。重复该步骤直至函数f结束.
（3）扩展小波w(t)，得到小波w(t/2)，重复步骤1,2.
（4）不断扩展小波，重复1,2,3

3、CWT（连续小波变换）

变换公式如下，通过参数a定位频率，通过参数b定位时间。

变换后可以得到如下的标度图，两个坐标轴分别为time和Scales（即b和a）Lower Scales对应高频成分，High Scales对应低频成分。

4、DWT（离散小波变换）

      在CWT中，参数a和b都是连续变化的，可以有无穷多个取值，但这种计算对于现代计算机来说是无法在有限时间内完成的。所以我们把a和b根据一定的规则取成离散的，这就是DWT。

      根据a和b抽取方式的不同，DWT有两种，分别是冗余小波变换和多重解析度分析（MRA）

（1）冗余小波变换（Redundant Wavelet Transform）

      a以指数扩张，

      因为对于宽小波我们希望以更大的步长去平移，故可以定义

      由此这种形式的小波函数和变换公式分别由下面两式给出

（2）MRA

      在MRA中，尺度和位置参数按照2的幂选取，并且进行了下采样，所以这种DWT更加高效和准确。小波函数和变换公式：

      下图是DWT的标度图

5、滤波组（Filter Bank）

      基于多解析理论（multi resolution theory）,我们可以用FIR数字滤波器对信号进行小波分解，分解成为低频部分和高频部分。这在图像处理中很有用处，具体实现可以查看我的另一片文章→图像处理与小波变换-Python实现

      一级分解：（因为进行的是下2采样，所以1000个数据点得到500个细节系数和500个近似系数）

      对一级分解得到的低频部分还可以进一步分解，最大分解级数log2N

      有分解当然就有重建（Reconstruction）：

      多层分解与重建：

      分解示例：

6、不同的小波函数及其性质

      下表展示了常见的小波函数及其对应于Matlab中的函数名称，其中最简单的就是Haar小波

下表是根据对小波函数的分类，分为是否带有filters、是否紧凑支持、正交or双正交等：

参考：
https://blog.csdn.net/baidu_27643275/article/details/84826773
https://blog.csdn.net/qq_30815237/article/details/89704855
https://www.bilibili.com/video/BV18y4y1y7Uf