统计学

参数估计之点估计(矩估计,最大似然估计) 详解含推导

1.何为点估计

在了解点估计之前,我们先介绍一下估计量与估计值的概念

1.1估计量与估计值

参数估计

• 就是用样本统计量去估计总体的参数,如用样本均值 $\vec{x}$ 去估计总体均值 μ ,用样本比例 p 估计总体比例 π ,样本方差 $s^2$ 估计总体方差 ${\delta }^2$ .
• 现在我们将总体参数笼统的称为 θ ,而用于估计总体参数 θ 的统计量我们称为 θ^ ,参数估计的实际含义就是如何用 θ^ 来表示 θ

估计量

估计参数时计算出来的统计量的具体值: θ^

1.2点估计

点估计,顾名思义就是用 θ^的某个取值作为总体参数 θ 的估计值
下面便介绍点估计的两种方法: 矩估计和最大似然估计

2.矩估计

2.1概念解析

ps: 如果想直接记做题结论的可以跳过这一步
也许第一眼看上去十分复杂,其实他们代表的含义十分简单
这里的 μ 表示的是根据分布计算出的期望 它就是我们之前提到的 θ
这里的 A 表示的是根据实际情况,也就是样本数据计算出的均值 ,也就是我们用来估计的 θ^
下面我们便结合实际的例子来讲解

2.2案例分析

这里的案例分为2种情况:

• 分布情况属于我们已知的五大分布
• 分布情况未知,但是给出了密度函数

注:五大分布的期望方差表已放在文末

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解题步骤

• 1.判断分布
• 2.构造方程(有几个参数就构造几个方程)
• 3.计算结果

矩估计,例题一

分析
显然,这道题属于已知分布函数的类型,并且只有一个参数

矩估计,例题二!

分析
显然,这道题属于已知分布函数的类型,并且有2个参数

矩估计,例题三

分析
显然,这道题属于未知分布函数但知道密度函数的类型,并且有1个参数

3.最大似然估计

3.1概念解析

下面两张图可以简单的看看过,如果真的想了解似然估计的话可以阅读一下下面的文章
这里推荐一篇之前看到过的非常好的文章
读懂最大似然估计
简单的概括来说,最大似然估计就是利用求导找出概率的最大值,来作为 θ^ 估计 θ

3.2案例分析

这里的案例同样分为2种情况:

• 分布情况属于我们已知的五大分布
• 分布情况未知,但是给出了密度函数

注:五大分布的期望方差表已放在文末

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解题步骤

• 1.写似然函数
• 2.取对数
• 3.求导,令导数=0
• 4.得出结果,如果求估计值就小写,求估计量就大写

最大似然估计,例题一

解答

最大似然估计,例题二

最大似然估计,例题三

这种情况是已知密度函数的,解题过程仍类似

附页:几种常见的抽样分布