一些前置知识，期望、方差、协方差概念及其相关公式参见带你深入理解期望、方差、协方差的含义

定义

皮尔逊相关系数，简称相关系数，严格来说，应该称为“线性相关系数”。这是因为，相关系数只是刻画了X，Y之间的“线性”关系程度。换句话说，假如X与Y有其它的函数关系但非线性关系时，用相关系数来衡量是不合理的。
相关系数定义为：
$${\rho }_{X,Y}=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}=\frac{E\left[\left(X-EX\right)\left(Y-EY\right)\right]}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E\left(X^2\right)-E^2(X)}\sqrt{E\left(Y^2\right)-E^2(Y)}}$$
$cov$为协方差，$\sigma$为标准差。

相关系数有以下性质：

1. 若$X，Y$相互独立，则 ${\rho }_{X,Y}=0$，但 ${\rho }_{X,Y}=0$ 不能推出$X,Y$相互独立，等于0的情况称不相关，即独立则不相关，反过来不一定。
2. 第一条的例外：当$(X,Y)$为二维正态时，由相关系数=0能推出$X，Y$独立
3. $-1\le {\rho }_{X,Y}\le 1$，小于0时为负相关，大于0时为正相关，为当且仅当$X,Y$有严格线性关系时取等

应用

实际应用中，通常用$r$表示相关系数，假如我们有一组样本点 (x,y)，怎么计算它们的相关系数？
基于样本对期望、方差、协方差进行估计，也就是：
$$E(X)=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$$${\sigma }_X^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$$$\mathrm{cov}(X,Y)=\frac{1}{n-1}\sum _n^{i=1}\left(X_i-\bar{X}\right)\left(Y_i-\bar{Y}\right)$$ （之所以除以n-1而不是除以n，是因为我们是用样本去估计总体，除n-1才是统计学上的“无偏估计”，这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差 ）

上面的任何一个公式看不懂可以看这篇博客

将上述公式代入定义中得，
$$r=\frac{{\sum }_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)\left(Y_i-\bar{Y}\right)}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2}\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{\left(Y_i-\bar{Y}\right)}^2}}$$

当计算出相关系数后，可以通过以下取值范围判断变量的相关强度：

|r|	相关强度
0.8-1.0	极强相关
0.6-0.8	强相关
0.4-0.6	中等程度相关
0.2-0.4	弱相关
0.0-0.2	极弱相关或无相关

理解

协方差的定义是从方差而来的，$X$的方差是$E(X-EX)$与$(X-EX)$的乘积的期望，如今把一个$(X-EX)$换为$(Y-EY)$，其形式接近方差，又有$X，Y$二者的参与，由此得出协方差的名称。

从功能上来说，其实协方差（Covariance）就足以刻画两个变量的相关关系。解释参见：协方差的意义

但是协方差是带有“单位”的，它和$X,Y$的数值有关，假如$X$的数值量级整体都远远大于$Y$，那么就会使得计算出来的协方差很大，它的值是不可比较的，并不能统一地度量。所以我们需要将其无量纲化（单位化），以消除数值量级差异的影响，于是就引入了皮尔逊相关系数，其在协方差的基础上除以各自的标准差，这样就消除了单位，使得计算出来的值介于-1和1之间，相互之间是可比较的，不用受单位的影响。

其它理解角度：https://www.zhihu.com/question/19734616

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