本文适合于工科课程不过于要求过程严谨、侧重应用的特点，且拉普拉斯变换与拉普拉斯逆变换适用于工科课程中的信号与系统、复变函数与积分变换、电路理论、自动控制原理以及计算机控制原理的基础部分，因此本文提供拉氏变换与拉氏逆变换的重要结论与定理，同时，也为对相关证明感兴趣的同学提供了结论与定理的证明，如果你觉得本文对你有所帮助，可收藏本文，但转载不被允许

一、定义与概念

1.1 拉普拉斯变换

设函数$f(t)$是定义在$[0,+\infty )$上的实值函数，如果对于复参数$s=\beta +\text{j}w$，积分
$$F(s)={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt\text{\hspace{1em}(1)}$$
在复平面$s$的某一个区域内收敛，则称$F(s)$为$f(t)$的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]$，该函数被称为像函数。

1.2 拉普拉斯逆变换

已知函数$f(t)$经过拉普拉斯变换后得到$F(s)$，则原函数$f(x)$可由$F(s)$经过拉普拉斯逆变换得到:
$$f(t)={\mathcal{L}}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\beta -j\infty }^{\beta +j\infty }F(s)e^{st}ds\text{\hspace{1em}(2)}$$
记$f(t)={\mathcal{L}}^{-1}[F(s)]$，$f(t)$被称为原像函数，此过程称为拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换）。

二、拉氏变换和拉氏逆变换常用结论和经典定理

2.1 常用结论

No.	Name of items	$f(t)$	$\text{F}(s)$
1	unit impluse	$\delta (t)$	1
2	unit step	$u(t)$	$\frac{1}{s}$
3	ramp	$\text{tu}(t)$	$\frac{1}{s^2}$
4	exponential	$e^{\text{at}}\text{u}(t)$	$\frac{1}{s-a}$
5	sine	$\sin wt$	$\frac{w}{s^2+w^2}$
6	cosine	$\cos wt$	$\frac{s}{s^2+w^2}$
7	power	$t^m$	$\frac{m!}{s^{m+1}}$

2.2 经典定理

No.	定理&性质名称	表达式
1	线性性质	$\mathcal{L}[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha F(s)+\beta G(s)$，其中$\alpha$和$\beta$为常数
2	相似性质	$\mathcal{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$，其中$a$为大于0的常数
3	微分之导数的像函数	$\mathcal{L}[f^{(n)}(t)]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}{f}^{\prime }(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$
4	微分之像函数的导数	$F^{(n)}(s)=(-1{)}^n\mathcal{L}[t^{n}f(t)]$
5	积分的像函数	$\mathcal{L}[\underset{n个}{\underbrace{{\int }_0^{t}dt{\int }_0^{t}dt\cdots {\int }_0^t}}f(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s)$
6	像函数的积分	$\underset{n个}{\underbrace{{\int }_s^{\infty }ds{\int }_s^{\infty }ds\cdots {\int }_s^{\infty }}}F(s)ds=\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t^n}]$
7	延迟性质	$\mathcal{L}[f(t-\tau )]=e^{-s\tau }F(s)$
8	位移性质	$\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)$
9	终值定理	$\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$
10	初值定理	$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=\underset{s\to +\infty }{\lim }sF(s)$

三、常用结论证明

3.1 Unit impluse function

已知函数$f(t)=\delta (t)$，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：

已知$\delta (t)$的定义如下：
$$\delta (t)=\{\begin{array}{rlr}A& & -\frac{\tau }{2}⩽t⩽\frac{\tau }{2}\\ 0& & t>\left|\frac{\tau }{2}\right|\end{array},且A\tau =1,\tau \to 0^{+}$$

$$\begin{array}{rl}F(s)& ={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt\\ & ={\int }_0^{+\infty }\delta (t)e^{-st}dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)e^{-jwt}dt\\ & =A{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}{e}^{-jwt}dt\\ & =\frac{A}{-jw}\left(e^{-jw\frac{\tau }{2}}-e^{jw\frac{\tau }{2}}\right)\\ & =\frac{2A}{w}\sin \frac{w\tau }{2}\\ & =\underset{\tau \to 0^{+}}{\lim }\frac{2\sin \frac{w\tau }{2}}{w\tau }\\ & =1\end{array}$$
证毕

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3.2 Unit step function

已知函数$f(t)=u(t)$，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
$$F(s)={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt={\int }_0^{+\infty }u(t)e^{-st}dt=-\frac{1}{s}{e}^{-st}{|}_0^{+\infty }=\frac{1}{s}$$
证毕

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3.3 Ramp function

已知函数$f(t)=tu(t)$，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
$$\begin{array}{rl}F(s)& ={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt\\ & ={\int }_0^{+\infty }tu(t)e^{-st}dt\\ & =-\frac{1}{s}{\int }_0^{+\infty }td(e^{-st})\\ & =-\frac{1}{s}\left[t{e}^{-st}{|}_0^{+\infty }-{\int }_0^{+\infty }{e}^{-st}dt\right]\\ & =\frac{1}{s^2}\end{array}$$
证毕

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3.4 Exponential function

已知函数$f(t)=e^{at}u(t)$，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
$$F(s)={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt={\int }_0^{+\infty }{e}^{at}u(t)e^{-st}dt=\frac{1}{a-s}{e}^{(a-s)t}{|}_0^{+\infty }=\frac{1}{s-a}$$
证毕

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3.5 Sine function

已知函数$f(t)=\sin wt$，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
$$\begin{array}{rl}F(s)& =\mathcal{L}[\sin wt]=\frac{1}{2j}\left(\mathcal{L}[e^{jwt}]-\mathcal{L}[e^{-jwt}]\right)\\ & =\frac{1}{2j}\left(\frac{1}{s-jw}-\frac{1}{s+jw}\right)=\frac{w}{s^2+w^2}\end{array}$$
证毕

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3.6 Cosine function

已知函数$f(t)=\cos wt$，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
$$\begin{array}{rl}F(s)& =\mathcal{L}[\cos wt]=\frac{1}{2}\left(\mathcal{L}[e^{jwt}]+\mathcal{L}[e^{-jwt}]\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-jw}+\frac{1}{s+jw}\right)=\frac{s}{s^2+w^2}\end{array}$$
证毕

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3.7 Power function

已知函数$f(t)=t^m$，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
$$\begin{array}{rl}F(s)& =\mathcal{L}[t^m]\\ & ={\int }_0^{+\infty }{t}^m{e}^{-st}dt\\ & =-\frac{1}{s}{\int }_0^{+\infty }{t}^{m}d(e^{-st})\\ & =-\frac{1}{s}{t}^m{e}^{-st}{|}_0^{+\infty }+\frac{m}{s}{\int }_0^{+\infty }{t}^{m-1}{e}^{-st}dt\\ & =\frac{m}{s}\mathcal{L}[t^{m-1}]\\ & =\frac{m(m-1)}{s^2}\mathcal{L}[t^{m-2}]\\ & ⋮\\ & =\frac{m!}{s^m}\mathcal{L}[t^0]\\ & =\frac{m!}{s^{m+1}}\end{array}$$
证毕

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四、经典定理证明

4.1 线性性质

设$\alpha ,\beta$为常数，且有$\mathcal{L}[f(t)]=F(s),\mathcal{L}[g(t)]=G(s)$，则有
$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}[\alpha f(t)+\beta g(t)]& ={\int }_0^{+\infty }\left(\alpha f(t)+\beta g(t)\right)e^{-st}dt\\ & =\alpha {\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt+\beta {\int }_0^{+\infty }g(t)e^{-st}dt\\ & =\alpha F(s)+\beta G(s)\end{array}$$
证毕

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4.2 相似性质

设$\mathcal{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，则对任一常数$a>0$有
$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}[f(at)]& ={\int }_0^{+\infty }f(at)e^{-st}dt\\ & \stackrel{令x=at}{=}\frac{1}{a}{\int }_0^{+\infty }f(x)e^{-(\frac{s}{a})x}dx\\ & =\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)\end{array}$$
证毕

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4.3 微分之导数的像函数

设$\mathcal{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，则有
$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}[f^{\prime }(t)]& ={\int }_0^{+\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt\\ & \stackrel{分部积分}{=}f(t)e^{-st}{|}_0^{+\infty }+s{\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt\\ & =sF(s)-f(0)\end{array}$$
经过数学归纳法可得：
$$\mathcal{L}[f^{(n)}(t)]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}{f}^{\prime }(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$$
证毕

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4.4 微分之像函数的导数

设$\mathcal{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，则有
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(s)& =\frac{d}{ds}{\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt\\ & ={\int }_0^{+\infty }\frac{\partial }{\partial s}\left[f(t)e^{-st}\right]dt\\ & =-{\int }_0^{+\infty }tf(t)e^{-st}dt\\ & =-\mathcal{L}[tf(t)]\end{array}$$
对$F(s)$施行同样步骤，反复进行可得：
$$F^{(n)}(s)=(-1{)}^n\mathcal{L}[t^{n}f(t)]$$
证毕

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4.5 积分的像函数

设$\mathcal{L}\left[f(t)\right]=F(s),g(t)={\int }_0^{t}f(t)dt$，则$g^{\prime }(t)=f(t)$，且$g(0)=0$，利用微分之导数的像函数可得：
$$\mathcal{L}[g^{\prime }(t)]=s\mathcal{L}[g(t)]-g(0)=s\mathcal{L}[g(t)]=s\mathcal{L}\left[{\int }_0^{t}f(t)dt\right]$$
即有$\mathcal{L}\left[{\int }_0^{t}f(t)dt\right]=\frac{1}{s}F(s)$，反复利用上式可得：
$$\mathcal{L}[\underset{n个}{\underbrace{{\int }_0^{t}dt{\int }_0^{t}dt\cdots {\int }_0^t}}f(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s)$$
证毕

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4.6 像函数的积分

设$\mathcal{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，则有
$$\begin{array}{rl}{\int }_s^{+\infty }F(s)ds& ={\int }_s^{+\infty }\left[{\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt\right]ds\\ & ={\int }_0^{+\infty }f(t)\left[{\int }_s^{+\infty }{e}^{-st}ds\right]dt\\ & ={\int }_0^{+\infty }f(t)\cdot \left[-\frac{1}{t}{e}^{-st}\right]{|}_s^{+\infty }dt\\ & ={\int }_0^{+\infty }\frac{f(t)}{t}{e}^{-st}\\ & =\mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right]\end{array}$$
反复利用上式可得：
$$\underset{n个}{\underbrace{{\int }_s^{\infty }ds{\int }_s^{\infty }ds\cdots {\int }_s^{\infty }}}F(s)ds=\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t^n}]$$
证毕

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4.7 延迟性质

设$\mathcal{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，当$t<0$时，$f(t)=0$，则对任一非负实数$\tau$有
$$\mathcal{L}[f(t-\tau )]={\int }_0^{+\infty }f(t-\tau )e^{-st}dt={\int }_{\tau }^{+\infty }f(t-\tau )e^{-st}dt$$
令$t_1=t-\tau$有
$$\mathcal{L}={\int }_0^{+\infty }f(t_1)e^{-s(t_1+\tau )}d{t}_1=e^{-s\tau }{\int }_0^{+\infty }f(t_1)e^{-s{t}_1}d{t}_1=e^{-s\tau }F(s)$$
证毕

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4.8 位移性质

设$\mathcal{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，则有
$$\mathcal{L}[e^{at}f(t)]={\int }_0^{+\infty }{e}^{at}f(t)e^{-st}dt={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-(s-a)t}dt=F(s-a)$$
证毕

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4.9 终值定理

从拉普拉斯变换的微分性质我们知道以下一个简单的等式：
$$\mathcal{L}[f^{\prime }(t)]={\int }_0^{+\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0)$$
我们将等式两边取极限$s\to 0$，可得
$$\underset{s\to 0}{\lim }{\int }_0^{+\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt={\int }_0^{+\infty }{f}^{\prime }(t)dt=\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)-f(0)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)-f(0)$$
化简可得：
$$f(+\infty )=\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$$
证毕

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4.10 初值定理

从拉普拉斯变换的微分性质我们知道以下一个简单的等式：
$$\mathcal{L}[f^{\prime }(t)]={\int }_0^{+\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0)$$
我们将等式两边取极限$s\to +\infty$，可得
$$\underset{s\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{+\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt=0=\underset{s\to +\infty }{\lim }sF(s)-f(0)$$
因此，我们可以得到：
$$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=f(0)=\underset{s\to +\infty }{\lim }sF(s)$$
证毕

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参考文献

[1]李红, 谢松法. 复变函数与积分变换.第4版[M]. 高等教育出版社, 2013.