1. 二分查找思想

二分法:二分查找算法是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法,其思想就是不断地将有序查找表“一分为二”,逐渐缩小搜索区域,进而找到目标元素。

  • 搜素过程从数组的中间元素开始,如果中间元素正好是要查找的元素,则搜 素过程结束;
  • 如果某一特定元素大于或者小于中间元素,则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找,而且跟开始一样从中间元素开始比较。
  • 如果在某一步骤数组 为空,则代表找不到。
  • 这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。折半搜索每次把搜索区域减少一半,时间复杂度为Ο(logn)

注:使用二分查找的前提条件是,数组已经是有序的

二分查找图解:以有序数组 {10, 14, 19, 26, 27, 31, 33, 35, 42, 44} 为例,查找元素 33

初始状态:

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第一轮查找:根据 27<33,可以判定 33 位于 27 右侧的区域,更新搜索区域为元素 27 右侧的区域。

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第二轮查找:35>33,可以判定 33 位于 35 左侧的区域,更新搜索区域。

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第三轮查找:31<33,可以判定 33 位于 31 右侧的区域,更新搜索区域。

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第四轮查找:搜索区域内中间元素的位置是 [(7+7)/2]=7,因此中间元素是 33,此元素就是要找的目标元素。

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2. 代码实现

2.1 未封装函数

代码实现思路:

  • 定义lowhighmid,分别代表最小值、最大值和中间值的下标,并且初始赋值low指向第一个元素,high指向最后一个元素;定义target代表要查找的目标值。
  • 进行循环二分查找,循环的条件是左边界还未超过右边界(low <= high),当左边界超过右边界,说明查找结束了。
  • 对比目标值与中间值的大小,如果两者相等说明查找到了(该值的下标就是中间值的下标mid);如果目标值大于中间值,说明目标值在左半边,此时缩小右边界的范围 (high = mid - 1)重新查找;如果目标值小于中间值,说明目标值在右半边,此时缩小左边界的范围 (low = mid + 1)重新查找。
#include <stdio.h>
#define N 11

int main() 
{
	int a[N] = {1, 5, 8, 11, 19, 22, 31, 35, 40, 49, 50}; // 准备好一个已经排序好的数组
	int low = 0, high = N - 1, mid, target; 
	printf("请输入要查找的值:");
	scanf("%d", &target);
	printf("%d\n", target);
	
	// 当左边界还未超过右边界时,进行二分查找
	while(low <= high)
	{
		mid = (low + high) / 2; // 每次循环重新给mid赋值,改变中间值的下标
		printf("low = %d, high = %d, mid = %d\n", low, high, mid); // 此处打印各个下标值,方便观测下标变化
		// 如果中间值等于目标值,说明查找成功,此时跳出循环
		if(a[mid] == target){
			printf("目标值的下标是%d\n", mid);
			break;
		}
		// 如果中间值大于目标值,说明目标值在左半边,此时改变右边界的下标(缩减右半边)
		if(a[mid] > target)
			high = mid - 1;
		// 如果中间值小于目标值,说明目标值在右半边,此时改变左边界的下标(缩减左半边)
		if(a[mid] < target)
			low = mid + 1;
	}
	
	// 当左边界已经超过右边界时,说明查找已经结束
	if(low > high)
		printf("未找到目标值\n");
	return 0;
}

注:以上代码适用于数组已经是升序排序的情况下。

运行结果如下:

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2.2 封装函数(使用while循环)

使用while循环,将二分查找封装成函数,代码如下:

#include <stdio.h>

// 二分查找,找到元素返回索引值,否则返回-1
int binarySearch(int arr[], int len, int target) {
	int low = 0, high = len -1, mid; // 最小值、最大值和中间值的下标
	while(low <= high) {
		mid = (low + high) / 2; // 每次循环重新给mid赋值,改变中间值的下标
		if(arr[mid] == target) { // 如果中间值等于目标值,说明查找成功,返回下标
			return mid;
		} else if(arr[mid] > target) { // 如果中间值大于目标值,说明目标值在左半边,此时缩减右半边
			high = mid -1;
		} else { // 如果中间值小于目标值,说明目标值在右半边,此时缩减左半边
			low = mid + 1;
		}
	}
	return -1;
}

int main() {
	int a[] = {1, 5, 8, 11, 19, 22, 31, 35, 40, 49, 50}; 
	int len = sizeof(a) / sizeof(int);
	int index, target;
	printf("请输入要查找的值:");
	scanf("%d", &target);
	index = binarySearch(a, len, target);
	printf("目标值的下标是%d\n", index);
	return 0;
}

运行结果如下:

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2.3 封装函数(使用递归)

使用递归调用,将二分查找封装成函数,代码如下:

#include <stdio.h>

// 二分查找,找到元素返回索引值,否则返回-1
int binarySearch(int arr[], int low, int high, int target) {
	if(low <= high) {
		int mid = (low + high) / 2; // 每次递归重新给mid赋值,改变中间值的下标
		if(arr[mid] == target) { // 如果中间值等于目标值,说明查找成功,返回下标
			return mid;
		} else if(arr[mid] > target) { // 如果中间值大于目标值,说明目标值在左半边
			high = mid -1;
			return binarySearch(arr, low , high, target); // 继续查找左半边
		} else { // 如果中间值小于目标值,说明目标值在右半边
			low = mid + 1;
			return binarySearch(arr, low , high, target); // 继续查找右半边
		}
	} else {
		return -1;
	}
}

int main() {
	int a[] = {1, 5, 8, 11, 19, 22, 31, 35, 40, 49, 50}; 
	int len = sizeof(a) / sizeof(int);
	int index, target;
	printf("请输入要查找的值:");
	scanf("%d", &target);
	index = binarySearch(a, 0, len-1, target);
	printf("目标值的下标是%d\n", index);
	return 0;
}

注:使用递归查找,值得注意的是,每次递归时,需要缩小查找的范围,也就是每次传入的左右边界发生了改变,因此入参必有 lowhigh,所以此处递归函数的定义是 binarySearch(int arr[], int low, int high, int target),而不能像之前封装while循环的函数定义 binarySearch(int arr[], int len, int target)

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