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写在前面：

输出前20万个素数，对比简单遍历和欧拉筛选的运行时间。

简单遍历：

欧拉筛选：

一、简单遍历

二、遍历至该数的平方根      

三、用x/i来代替sqrt(x)

四、朴素筛法

五、埃式筛法

六、欧拉筛法        

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写在前面：

输出前20万个素数，对比简单遍历和欧拉筛选的运行时间。

简单遍历：

#include <stdio.h>
#include <time.h>
clock_t start, stop;
double duration;

int main()
{
    int count = 0;
    start = clock(); /*开始计时*/
    int i, j;
    for (i = 2; i <= 200000; i++) {
        int isprime = 1;
        for (j = 2; j < i; j++) {
            if (i % j == 0) {
                isprime = 0;
                break;
            }
        }
        if (isprime == 1) {
            printf("%d\n", i);
            count++;
        }
    }
    printf("%d\n", count);
    stop = clock(); /*停止计时*/
    duration = ((double)(stop - start)) / CLK_TCK; /*计算运行时间*/
    printf("Running time: %lf seconds\n", duration); // 输出运行时间

    return 0;
}

3.243秒

欧拉筛选：

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <time.h>
clock_t start, stop;
double duration;

int main()
{
    int n = 200000;
    bool isPrime[200001];
    int prime[200001];
    int cnt = 0; //记录素数的个数
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        isPrime[i] = true;

    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (isPrime[i])
        {
            prime[cnt] = i; //将i加入素数数组
            cnt++;
        }
        for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] <= n; j++)
        {
            isPrime[i * prime[j]] = false; //将当前数与质因数的积标记为合数
            if (i % prime[j] == 0)
                break; //保证每个合数只会被它的最小质因数筛选一次
        }
    }

    printf("素数：\n");

    for (int i = 0; i < cnt; i++)
    {
        printf("%d\n", prime[i]);
    }

    printf("共有素数%d个\n", cnt);

    stop = clock(); /*停止计时*/
    duration = ((double)(stop - start)) / CLOCKS_PER_SEC; /*计算运行时间*/
    printf("Running time: %lf seconds\n", duration); // 输出运行时间

    return 0;
}

0.353秒

 

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一、简单遍历

        这是一个简单的C语言程序，实现的功能是打印出2到100之间的所有素数。

        程序的基本思路是：用变量i从2开始逐个遍历到100，对于每一个i，用变量j从2开始逐个遍历到i-1，如果i能被j整除，则说明i不是素数，将isPrime标志位设为0，然后跳出循环。如果在循环结束后isPrime仍然是1，则说明i是素数，将其打印出来即可。

#include <stdio.h>

int main() {
    int i, j;
    for (i = 2; i <= 100; i++) {
        int isPrime = 1;
        for (j = 2; j < i; j++) {
            if (i % j == 0) {
                isPrime = 0;
                break;
            }
        }
        if (isPrime == 1) {
            printf("%d\n", i);
        }
    }
    return 0;
}

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二、遍历至该数的平方根      

        程序的基本思路是：定义一个isprime函数，用来判断一个数是否为素数。isprime函数的实现方式与之前的程序相同，用一个循环遍历到该数的平方根即可。

        在主函数中，用for循环逐个枚举2到n之间的数字，如果这个数字是素数就打印出来，并将cnt计数器自增。最后输出素数的总个数。

        相较于之前的程序，这个程序代码更加简洁，可读性也更好，而且使用了一个新的函数来判断素数，使得程序更加模块化，代码复用性更高。

#include<stdio.h>
#include<math.h>

bool isprime(int x)
{
	for (int i = 2; i <=sqrt(x); i++)
	{
		if (x % i == 0) return 0;
	}
	return 1;
}

int main()
{
	int n, cnt = 0;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (isprime(i))
		{
			cnt++;
			printf("%d\n", i);
		}
	}
	return 0;
}

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三、用x/i来代替sqrt(x)

        对于i<=sqrt(x) sqrt函数的计算会比较慢，因此我们两边平方后，移一个i过去右边，变成i<=x/i 这样就能避免溢出的问题 。程序的代码基本与之前的程序相同，只是在函数isprime中的循环控制条件做了一下优化，用x/i来代替sqrt(x)，达到减少循环次数的效果。

#include<stdio.h>


bool isprime(int x)
{
	for (int i = 2; i <= x / i; i++)
	{
		if (x % i == 0) return 0;
	}
	return 1;
}

int main()
{
	int n,cnt=0;
    double t1 = clock();
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (isprime(i))
		{
			cnt++;
			printf("%d\n", i);
		}
	}
	return 0;
}

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四、朴素筛法

        一个合数一定存在非1非本身的质因子。

        程序的基本思路是：首先定义一个长度为n的数组pri，用来记录每一个数字是否是素数。然后用for循环遍历到n的平方根，如果i是素数，则用一个内部循环依次去除i的倍数，将这些数标记为合数。最后再用for循环遍历整个数组，将所有没有被标记过的数字输出出来。

        这个算法的优点在于避免了之前程序内部判断素数时的重复计算，同时减少了程序的循环次数。缺点是需要用一个数组来存储中间状态，可能会消耗更多的内存。

#include<stdio.h>
//0为素数，1为合数
int pri[100] = {0};

int main()
{
	int n,cnt=0;
	double t1 = clock();
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 2; i <= n/i; i++)
	{
		if (!pri[i])//没被筛过
		{
			for (int j = 2 * i; j <= n; j += i)//去除合数
			{
				pri[j] = 1;
			}
		}
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!pri[i])
		{
			cnt++;
			printf("%d\n", i);
		}
	}
	return 0;
}

五、埃式筛法

        该程序是朴素筛法程序的一个修正，主要在内部循环的控制条件上做了改变。

        由于在之前的程序中，内部循环是从2 * i开始依次将i的倍数标记为合数。但在这个程序中，内部循环是从i * i开始依次将i的倍数标记为合数。这是因为在i * i之前，这些数字已经被其他的素数筛选过了，所以不需要再次去除。

        这个算法的优点和上一个程序的优点一样，避免了之前程序的重复计算，减少了程序的循环次数。同时由于内部循环的起始位置不同，也稍微提高了一点点程序的执行效率。

#include<stdio.h>
int pri[100] = {0};

int main()
{
	int n,cnt=0;
	double t1 = clock();
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 2; i <= n/i; i++)
	{
		if (!pri[i])//没被筛过
		{
			for (int j = i * i; j <= n; j += i)//去除合数
			{
				pri[j] = 1;
			}
		}
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!pri[i])
		{
			cnt++;
			printf("%d\n", i);
		}
	}
	return 0;
}

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六、欧拉筛法        

        欧拉筛法是一种高效的求解素数的算法，其本质基于线性筛法的思想。

        欧拉筛法的核心思想是筛去每个数的所有质因数，使得每个数只被它的最小质因数筛选一次。首先将2到n范围内的所有数都标记为素数，然后从2开始循环到n，对于每个数i，如果它是素数，则将其加入素数数组中，并将它的所有倍数（除了它本身）标记为合数。对于一个合数i*j，它已经被i筛选过了，所以其最小质因数一定是i，因此只需要将其标记一次即可。

        另外，为了保证每个合数都只会被它的最小质因数筛选一次，算法中添加了一个优化条件，即当i能够整除当前质数数组中的某个数j时，直接将i*j标记为合数，跳过后续的循环过程。

        欧拉筛法的时间复杂度为O(n)，相比于朴素筛法和埃式筛法，具有更高的效率和更低的时间复杂度。

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

int main()
{
    int n = 100;
    bool isPrime[101];
    int prime[101];
    int cnt = 0; //记录素数的个数
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        isPrime[i] = true;

    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (isPrime[i])
        {
            prime[cnt++] = i; //将i加入素数数组
        }
        for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] <= n; j++)
        {
            isPrime[i * prime[j]] = false; //将当前数与质因数的积标记为合数
            if (i % prime[j] == 0)
                break; //优化，保证每个合数只会被它的最小质因数筛选一次
        }
    }

    for (int i = 0; i < cnt; i++)
    {
         printf("%d\n", prime[i]);
    }

    return 0;
}