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Facebook 时间序列预测算法 Prophet 的研究
Prophet 简介
Facebook 去年开源了一个时间序列预测的算法，叫做 fbprophet，它的官方网址与基本介绍来自于以下几个网站：

Github：https://github.com/facebook/prophet
官方网址：https://facebook.github.io/prophet/
论文名字与网址：Forecasting at scale，https://peerj.com/preprints/3190/
从官网的介绍来看，Facebook 所提供的 prophet 算法不仅可以处理时间序列存在一些异常值的情况，也可以处理部分缺失值的情形，还能够几乎全自动地预测时间序列未来的走势。从论文上的描述来看，这个 prophet 算法是基于时间序列分解和机器学习的拟合来做的，其中在拟合模型的时候使用了 pyStan 这个开源工具，因此能够在较快的时间内得到需要预测的结果。除此之外，为了方便统计学家，机器学习从业者等人群的使用，prophet 同时提供了 R 语言和 Python 语言的接口。从整体的介绍来看，如果是一般的商业分析或者数据分析的需求，都可以尝试使用这个开源算法来预测未来时间序列的走势。

Prophet 的算法原理
Prophet 数据的输入和输出

首先让我们来看一个常见的时间序列场景，黑色表示原始的时间序列离散点，深蓝色的线表示使用时间序列来拟合所得到的取值，而浅蓝色的线表示时间序列的一个置信区间，也就是所谓的合理的上界和下界。prophet 所做的事情就是：

1、输入已知的时间序列的时间戳和相应的值；
2、输入需要预测的时间序列的长度；
3、输出未来的时间序列走势。
4、输出结果可以提供必要的统计指标，包括拟合曲线，上界和下界等。
就一般情况而言，时间序列的离线存储格式为时间戳和值这种格式，更多的话可以提供时间序列的 ID，标签等内容。因此，离线存储的时间序列通常都是以下的形式。其中 date 指的是具体的时间戳，category 指的是某条特定的时间序列 id，value 指的是在 date 下这个 category 时间序列的取值，label 指的是人工标记的标签（‘0’ 表示异常，'1‘ 表示正常，‘unknown’ 表示没有标记或者人工判断不清）。


而 fbprophet 所需要的时间序列也是这种格式的，根据官网的描述，只要用 csv 文件存储两列即可，第一列的名字是 ‘ds’, 第二列的名称是 ‘y’。第一列表示时间序列的时间戳，第二列表示时间序列的取值。通过 prophet 的计算，可以计算出 yhat，yhat_lower，yhat_upper，分别表示时间序列的预测值，预测值的下界，预测值的上界。两份表格如下面的两幅图表示。

Prophet 的算法实现

趋势项模型 [公式]

在 Prophet 里面，是需要设置变点的位置的，而每一段的趋势和走势也是会根据变点的情况而改变的。在程序里面有两种方法，一种是通过人工指定的方式指定变点的位置；另外一种是通过算法来自动选择。在默认的函数里面，Prophet 会选择 n_changepoints = 25 个变点，然后设置变点的范围是前 80%（changepoint_range），也就是在时间序列的前 80% 的区间内会设置变点。通过 forecaster.py 里面的 set_changepoints 函数可以知道，首先要看一些边界条件是否合理，例如时间序列的点数是否少于 n_changepoints 等内容；其次如果边界条件符合，那变点的位置就是均匀分布的，这一点可以通过 np.linspace 这个函数看出来。

m = Prophet(growth='logistic') 
df['cap'] = 6 
m.fit(df) 
future = m.make_future_dataframe(periods=prediction_length, freq='min') 
future['cap'] = 6

变点的选择（Changepoint Selection）

对未来的预估（Trend Forecast Uncertainty）

从历史上长度为 [公式] 的数据中，我们可以选择出 [公式] 个变点，它们所对应的增长率的变化量是 [公式] 。此时我们需要预测未来，因此也需要设置相应的变点的位置，从代码中看，在 forecaster.py 的 sample_predictive_trend 函数中，通过 Poisson 分布等概率分布方法找到新增的 changepoint_ts_new 的位置，然后与 changepoint_t 拼接在一起就得到了整段序列的 changepoint_ts。

changepoint_ts_new = 1 + np.random.rand(n_changes) * (T - 1)
changepoint_ts = np.concatenate((self.changepoints_t, changepoint_ts_new))

季节性趋势

节假日效应（holidays and events）
在现实环境中，除了周末，同样有很多节假日，而且不同的国家有着不同的假期。在 Prophet 里面，通过维基百科里面对各个国家的节假日的描述，hdays.py 收集了各个国家的特殊节假日。除了节假日之外，用户还可以根据自身的情况来设置必要的假期，例如 The Super Bowl，双十一等。

模型拟合（Model Fitting）

Prophet 中可以设置的参数

Prophet 的实际使用

Prophet 的简单使用
因为 Prophet 所需要的两列名称是 ‘ds’ 和 ‘y’，其中，‘ds’ 表示时间戳，‘y’ 表示时间序列的值，因此通常来说都需要修改 pd.dataframe 的列名字。如果原来的两列名字是 ‘timestamp’ 和 ‘value’ 的话，只需要这样写：

df = df.rename(columns={'timestamp':'ds', 'value':'y'})

如果 ‘timestamp’ 是使用 unixtime 来记录的，需要修改成 YYYY-MM-DD hh:mm:ss 的形式：

df['ds'] = pd.to_datetime(df['ds'],unit='s')

在一般情况下，时间序列需要进行归一化的操作，而 pd.dataframe 的归一化操作也十分简单：

df['y'] = (df['y'] - df['y'].mean()) / (df['y'].std())

然后就可以初始化模型，然后拟合模型，并且进行时间序列的预测了。

初始化模型：m = Prophet()
拟合模型：m.fit(df)
计算预测值：periods 表示需要预测的点数，freq 表示时间序列的频率。
future = m.make_future_dataframe(periods=30, freq='min')
future.tail()
forecast = m.predict(future)

而 freq 指的是 pd.dataframe 里面的一个指标，‘min’ 表示按分钟来收集的时间序列。具体参见文档：http://pandas.pydata.org/pandas-docs/stable/timeseries.html#offset-aliases

在进行了预测操作之后，通常都希望把时间序列的预测趋势画出来：

画出预测图：
m.plot(forecast)
画出时间序列的分量：
m.plot_components(forecast)

如果要画出更详细的指标，例如中间线，上下界，那么可以这样写：

x1 = forecast[‘ds’]
y1 = forecast[‘yhat’]
y2 = forecast[‘yhat_lower’]
y3 = forecast[‘yhat_upper’]
plt.plot(x1,y1)
plt.plot(x1,y2)
plt.plot(x1,y3)
plt.show()

其实 Prophet 预测的结果都放在了变量 forecast 里面，打印结果的话可以这样写：第一行是打印所有时间戳的预测结果，第二行是打印最后五个时间戳的预测结果。

print(forecast[['ds', 'yhat', 'yhat_lower', 'yhat_upper']])
print(forecast[['ds', 'yhat', 'yhat_lower', 'yhat_upper']].tail())

Prophet 的参数设置
Prophet 的默认参数可以在 forecaster.py 中看到：

def __init__(
    self,
    growth='linear',
    changepoints=None,
    n_changepoints=25, 
    changepoint_range=0.8,
    yearly_seasonality='auto',
    weekly_seasonality='auto',
    daily_seasonality='auto',
    holidays=None,
    seasonality_mode='additive',
    seasonality_prior_scale=10.0,
    holidays_prior_scale=10.0,
    changepoint_prior_scale=0.05,
    mcmc_samples=0,
    interval_width=0.80,
    uncertainty_samples=1000,
):

增长函数的设置
在 Prophet 里面，有两个增长函数，分别是分段线性函数（linear）和逻辑回归函数（logistic）。而 m = Prophet() 默认使用的是分段线性函数（linear），并且如果要是用逻辑回归函数的时候，需要设置 capacity 的值，i.e. df[‘cap’] = 100，否则会出错。

m = Prophet()
m = Prophet(growth='linear')
m = Prophet(growth='logistic')

变点的设置
在 Prophet 里面，变点默认的选择方法是前 80% 的点中等距选择 25 个点作为变点，也可以通过以下方法来自行设置变点，甚至可以人为设置某些点。

m = Prophet(n_changepoints=25)
m = Prophet(changepoint_range=0.8)
m = Prophet(changepoint_prior_scale=0.05)
m = Prophet(changepoints=['2014-01-01'])

而变点的作图可以使用：

from fbprophet.plot import add_changepoints_to_plot
fig = m.plot(forecast)
a = add_changepoints_to_plot(fig.gca(), m, forecast)

周期性的设置
通常来说，可以在 Prophet 里面设置周期性，无论是按月还是周其实都是可以设置的，例如：

m = Prophet(weekly_seasonality=False)
m.add_seasonality(name='monthly', period=30.5, fourier_order=5)
m = Prophet(weekly_seasonality=True)
m.add_seasonality(name='weekly', period=7, fourier_order=3, prior_scale=0.1)

节假日的设置
有的时候，由于双十一或者一些特殊节假日，我们可以设置某些天数是节假日，并且设置它的前后影响范围，也就是 lower_window 和 upper_window。

playoffs = pd.DataFrame({
  'holiday': 'playoff',
  'ds': pd.to_datetime(['2008-01-13', '2009-01-03', '2010-01-16',
                        '2010-01-24', '2010-02-07', '2011-01-08',
                        '2013-01-12', '2014-01-12', '2014-01-19',
                        '2014-02-02', '2015-01-11', '2016-01-17',
                        '2016-01-24', '2016-02-07']),
  'lower_window': 0,
  'upper_window': 1,
})
superbowls = pd.DataFrame({
  'holiday': 'superbowl',
  'ds': pd.to_datetime(['2010-02-07', '2014-02-02', '2016-02-07']),
  'lower_window': 0,
  'upper_window': 1,
})
holidays = pd.concat((playoffs, superbowls))

m = Prophet(holidays=holidays, holidays_prior_scale=10.0)

结束语
对于商业分析等领域的时间序列，Prophet 可以进行很好的拟合和预测，但是对于一些周期性或者趋势性不是很强的时间序列，用 Prophet 可能就不合适了。但是，Prophet 提供了一种时序预测的方法，在用户不是很懂时间序列的前提下都可以使用这个工具得到一个能接受的结果。具体是否用 Prophet 则需要根据具体的时间序列来确定。

参考文献：
1、https://otexts.org/fpp2/components.html
2、https://en.wikipedia.org/wiki/Decomposition_of_time_series
3、A review of change point detection methods, CTruong, L. Oudre, N.Vayatis
4、https://github.com/facebook/prophet
5、https://facebook.github.io/prop

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