注：文章内容基于 Thomas L. Floyd-Digital Fundamentals-Prentice Hall (2014)

一. SOP/POS介绍

1. The Sum-of-Products(SOP)Form

SOP表达式：

1. 书中给出定义：
   A product term was defined as a term consisting of the product (Boolean multiplication) of literals (variables or their complements). When two or more product terms are summed by Boolean addition, the resulting expression is a sum-of-products (SOP).

2. 普遍理解为：(变量的)乘积之和组成表达式
   Sum有求和之意，Product有乘积之意

例如如下表达式：

1. $ABC+\overline{A}B+A\overline{C}$
2. $AB+\overline{A}B+AB\overline{C}+BC$
3. $ABD+\overline{A}BD+B\overline{C}D+B$
4. …

要注意在SOP表达式中$\overline{A}B\overline{C}$可以作为一个求和项，但是$\overline{ABC}$不可以表示一个求和项；
写成SOP表达式的时候需满足单个上划线下只存在一个变量

2.The Product-of-Sums(POS)Form

1. 书中给出定义：
   A sum term was defined as a term consisting of the sum (Boolean addition) of literals (variables or their complements). When two or more sum terms are multiplied, the resulting expression is a product-of-sums (POS).

2. 普遍理解为：(变量之)和的乘积组成的表达式
   Sum有求和之意，Product有乘积之意

例如如下表达式：

1. $(A+B)(A+\overline{B}+C)(B+\overline{C})$
2. $(A+B+\overline{C})(A+\overline{B}+C)(B+\overline{C})(\overline{B}+C)$
3. $(A+B+D)(A+\overline{C}+D)(B+C+\overline{D})$
4. …

要注意在POS表达式中$(A+B+C)$可以作为一个乘积项，但是$\overline{(A+B+C)}$不可以表示一个乘积项；
写成POS表达式的时候需满足单个上划线下只存在一个变量

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二. SOP/POS标准式

无论标准或非标准式，在写SOP/POS表达式时都必须满足上划线下只包含一个变量

标准形式的SOP/POS表示SOP/POS中的每个求和项或乘积项(求和项表示用于求和的项元；乘积项表示用于乘积的项元)包含全部的变量

① 实际上将SOP/POS化成标准形式是“化简为繁”
② 对应于“化繁为简”代指将SOP/POS式化至最简以简化设计门电路(化简方法有多种：公式化简法、卡诺图最小化布尔函数法、Quine-McCluskey法等)

在这里将SOP/POS化至最简实现的功能：方便写出SOP/POS真值表，并通过真值表实现简单的相互转换。

在进行标准化之前，先掌握如下基本公式(布尔代数基本公式)：

1.	$A+0=A$	7.	$A\cdot A=A$
2.	$A+1=1$	8.	$A\cdot \overline{A}=0$
3.	$A\cdot 0=0$	9.	$\overline{\overline{A}}=A$
4.	$A\cdot 1=A$	10.	$A+AB=A$
5.	$A+A=A$	11.	$A+\overline{A}B=A+B$
6.	$A+\overline{A}=1$	12.	$(A+B)(A+C)=A+BC$

证明过程略

1. SOP标准化

给出如下SOP表达式：
$AB+AC+BC$

标准化方法：
① 确定表达式总变量数(此式为3)
② 依$A+\overline{A}=1$，对于第一项$AB$，添加缺失的变量$C$，有$AB=AB(C+\overline{C})$
③ 展开表达式、整理

得到$AB(C+\overline{C})+AC(B+\overline{B})+BC(A+\overline{A})$
展开整理得$ABC+ABC+ABC+AB\overline{C}+A\overline{B}C+\overline{A}BC$

2. POS标准化

给出如下POS表达式：
$(A+B)(A+C)(B+C)$

标准化方法：
① 确定表达式总变量数(此式为3)
② 依$A\cdot \overline{A}=0$，对于第一项$(A+B)$，添加缺失的变量$C$，有$(A+B)=(A+B+C\cdot \overline{C})$
③ 依$(A+B)(A+C)=A+BC$将表达式展开
有$(A+B)=(A+B+C\cdot \overline{C})=(A+B+C)(A+B+\overline{C})$
④ 整理

得到$(A+B)=(A+B+C\cdot \overline{C})=(A+B+C)(A+B+\overline{C})$

即得到标准形式下的SOP/POS表达式

3. SOP对应真值表

以标准化后的SOP标准式为例

1. 对于如下SOP标准式：
   $ABC+AB\overline{C}+A\overline{B}C+\overline{A}BC$

(1). 含有三个变量，对应$ABC$所有可能情况为$2^3$种，则需要确定该表达式对应于这$8$种情况中的哪种情况。
(2). 以$ABC$为例，对$A、B、C$三个输入执行与操作，只要其中任意一个输入为$0$，则输出为$0$，反过来，当输出为$1$时，$A、B、C$输入唯一确定且全为$1$。这就意味着，可以通过输出为$1$的状态唯一确定输入值
(3). 现通过给定输出值来写出SOP表达式对应真值表
将输出定为$1$，对于每一项例如$\overline{A}BC$，此项其中每一项输入给$1$，反求$A、B、C$，反求结果为$A=0，B=1，C=1$，并将结果写入下表中
上式求得输出为$1$的几种情况分别为$111、110、101、011$

A	B	C	Output X1	Product Term
0	0	0
0	0	1
0	1	0
0	1	1	1	$\overline{A}BC$
1	0	0
1	0	1	1	$A\overline{B}C$
1	1	0	1	$AB\overline{C}$
1	1	1	1	$ABC$

除了输出为$1$的所有状态，剩下状态即为输出为$0$的所有状态
原理上述已给出，输入值满足输出为$1$的条件，不满足即输出为$0$

补全上述真值表

A	B	C	Output X	Product Term
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1	$\overline{A}BC$
1	0	0	0
1	0	1	1	$A\overline{B}C$
1	1	0	1	$AB\overline{C}$
1	1	1	1	$ABC$

4. POS对应真值表

以标准化后的SOP标准式为例

2. 对于如下POS表达式：
   $(A+B+C)(A+B+\overline{C})(\overline{A}+B+C)(A+\overline{B}+C)$

(1). 含有三个变量，对应$ABC$所有可能情况为$2^3$种，则需要确定该表达式对应于这$8$种情况中的哪种情况。
(2). 以$(A+B+C)$为例，对$A、B、C$三个输入执行或操作，只要其中任意一个输入为$1$，则输出为$1$，反过来，当输出为$0$时，$A、B、C$输入唯一确定且全为$0$。这就意味着，可以通过输出为$0$的状态唯一确定输入值
(3). 现通过给定输出值来写出POS表达式对应真值表
将输出定为$0$，对于每一项例如$(A+B+\overline{C})$，此项其中每一项输入给$0$，反求$A、B、C$，反求结果为$A=0，B=0，C=1$，并将结果写入下表中
上式求得输出为$0$的几种情况分别为$000、001$

A	B	C	Output X	Product Term
0	0	0	0	$(A+B+C)$
0	0	1	0	$(A+B+\overline{C})$
0	1	0	0	$(A+\overline{B}+C)$
0	1	1
1	0	0	0	$(\overline{A}+B+C)$
1	0	1
1	1	0
1	1	1

除了输出为$0$的所有状态，剩下状态即为输出为$1$的所有状态
原理上述已给出，输入值满足输出为$0$的条件，不满足即输出为$1$

补全上述真值表

A	B	C	Output X	Product Term
0	0	0	0	$(A+B+C)$
0	0	1	0	$(A+B+\overline{C})$
0	1	0	0	$(A+\overline{B}+C)$
0	1	1	1
1	0	0	0	$(\overline{A}+B+C)$
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

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三. SOP/POS的相互转换

在给出真值表后，根据下述两种真值表

表1

A	B	C	Output X	Product Term
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1	$\overline{A}BC$
1	0	0	0
1	0	1	1	$A\overline{B}C$
1	1	0	1	$AB\overline{C}$
1	1	1	1	$ABC$

表2

A	B	C	Output X	Product Term
0	0	0	0	$(A+B+C)$
0	0	1	0	$(A+B+\overline{C})$
0	1	0	0	$(A+\overline{B}+C)$
0	1	1	1
1	0	0	0	$(\overline{A}+B+C)$
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

可由SOP/POS求得POS/SOP
转换方法：
① 根据给定的表达式类型列全真值表
② 根据需要求取的类型逐一列每一项的表达式
例如需要由SOP求POS，则依据真值表中Output X为$0$的部分，写出其对应每一项的表达式(如由从表一转换为表二)
③ 将项与项之间依据表达式相整合

最后给出所求表达式类型
据此，通过非标准形式的SOP/POS表达式可以求得标准形式的POS/SOP表达式并给出对应真值表

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希望能够帮到迷途之中的你，知识有限，如有学术错误请及时指正，感谢大家的阅读

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1. Output X表示表达式输出值 ↩︎